Comprendre la valeur attendue

Cet article est une traduction de Expected value par l’organisation Probably Good.

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On ne peut pas toujours prédire avec certitude les conséquences de nos actions. Pour nous aider à faire de meilleurs choix, l’espérance mathématique, ou valeur attendue, peut nous aider. L’espérance mathématique est la moyenne de tous les résultats possibles d’une action, pondérés par leur probabilité d’advenir. L’espérance mathématique peut, en quelque sorte, nous donner une idée de ce que nous devrions “attendre en moyenne” d’un risque que nous sommes sur le point de prendre.

Et puisque toutes nos décisions importantes ou presque comportent une part d’incertitude, prendre en compte l’espérance mathématique peut nous aider à prendre de meilleures décisions.

Décider malgré l’incertitude

La majorité de nos décisions sont prises sans que nous ayons en main toutes les informations pertinentes. C’est vrai pour nos grandes décisions, mais aussi pour nos petites décisions du quotidien : est-ce que je veux aller au travail en vélo ou bien prendre le bus du matin ? Je dois choisir sans être certain que la circulation sera bonne ou qu’il ne pleuvra pas sur le chemin du retour, même si ce sont des informations qui influenceraient ma décision finale. Dans le cas des grandes décisions, ces incertitudes deviennent d’autant plus cruciales : dans quelle carrière est-ce que je veux m’engager pour les décennies à venir ?

Imaginez que vous envisagiez deux carrières différentes. Votre première option est de devenir programmeur informatique. Vous avez déjà codé de petits projets et vous êtes raisonnablement certain que vous seriez un bon programmeur. Vous n’auriez pas de mal à trouver un emploi et vous seriez bien payé. Plus important encore, vous pourriez contribuer à presque n’importe quelle cause grâce à vos compétences. Cela dit, vous ne pensez pas que vous soyez un programmeur exceptionnel, de ceux qui révolutionnent leur domaine.

La deuxième option que vous envisagez est de devenir auteur-compositeur-interprète. Si vous vous engagez dans cette voie, vous risquez de vous retrouver sans le sou et sans expérience professionnelle à faire valoir. Cependant, vous avez une petite chance de devenir une star internationale, célèbre à travers le monde entier et riche à millions (ce qui vous permettrait de donner une part significative de vos revenus à des organisations caritatives). Étant donné l’incertitude inhérente à ce type de décisions, vous ne savez pas quelle option se révélera être la meilleure. Dans cette situation, comment pouvez-vous malgré tout décider intelligemment ? Devriez-vous choisir la voie qui vous offre l’opportunité d’un résultat excellent ? Ou préférer la stabilité de la voie qui garantit de bons résultats même dans le pire des cas ?

Comment calculer la valeur attendue, ou espérance mathématique

L’espérance mathématique est une notion statistique qui permet de déterminer quel sera le résultat « en moyenne » de quelque chose qu’on ne peut prédire avec certitude. Pour calculer l’espérance mathématique, il suffit de prendre la moyenne de tous les résultats possibles, chaque résultat étant pondéré par sa probabilité d’advenir. Prenons l’exemple d’un billet de loto à un euro qui a 1% de chance de gagner 50 euros. L’espérance mathématique de l’achat d’un ticket est de moins 49 centimes — autrement dit, une perte de 49 centimes.

Pourquoi ? Parce qu’1% de chance de gagner 50 euros, ça vaut 50 centimes (50 fois 0,01), mais 99% de chance de perdre un euro, ça vaut moins 99 centimes (- 1 fois 0,99). L’espérance mathématique de l’achat est donc 50 x 0,01 + (-1) x 0,99 = 0,55–0,99 = — 0,49.

Pas le meilleur des investissements.

Les difficultés de l’espérance mathématique

Les décisions que nous prenons sont généralement plus complexes que d’acheter ou non un ticket de loto. Définir et quantifier la valeur exacte de différents résultats peut être difficile (par exemple, dans quelle mesure préféreriez-vous devenir une pop star plutôt que travailler dans l’informatique ?). Évaluer les probabilités exactes de chaque résultat est tout aussi délicat (compte tenu de vos compétences et de votre personnalité, quelles sont vos chances de réussir dans le show-business ?). Pourtant, nous sommes bien obligés de prendre des décisions en situation d’incertitude.

Bien souvent, ce que vous mesurez n’est qu’un outil qui vous sert à évaluer ce qui vous importe vraiment. Par exemple, la plupart d’entre nous voulons être plus riches, mais c’est uniquement parce que cela nous permet, à nos proches et nous, d’être plus heureux. Dans ce cas, faire preuve d’une certaine aversion au risque — privilégier la certitude d’un résultat, même au prix d’un gain attendu inférieur — se justifie. En revanche, si nous évaluons bel et bien ce qui compte vraiment pour nous, ou si nous travaillons sur des projets qui peuvent être transposés à grande échelle sans trop de rendements décroissants, nous avons de bonnes raisons de prendre en compte l’espérance mathématique dès que nous sommes en situation d’incertitude.